Sa zambim si azi - 10 Aprilie 2011

Umor matematic

David Hilbert vorbind despre un elev al său spunea: "El a devenit poet. Pentru matematică avea puţină imaginaţie".

Într-o noapte Blaise Pascal avea o groaznică durere de dinţi. A întrebuinţat totul pentru potolirea durerilor, dar în zădar. Atunci s-a ocupat de studiul cicloidei, descoperindu-i o serie de proprietăţi, ca să constate în final, că durerea de dinţi a dispărut.

Marele matematician rus A. A. Marcov, fiind întrebat, ce este matematica, a răspuns: "Matematica este ceea cu ce se ocupă Gauss, Cebâşev, Leapunov şi eu".

Vorbind despre feciorul său, David Hilbert spunea: "Aptitudinile matematice el le-a moştenit de la mamă-sa, iar restul de la mine".

În timpul uneia dintre prelegerile sale, David Hilbet spunea:
– Fiecare om posedă un anumit orizont. Când se îngustează şi devine infinit de mic, el se transformă în punct şi atunci omul zice: "Acesta este punctul meu de vedere".

Odată Hilbert, împreună cu soţia sa, a organizat un dineu. După sosirea unui oaspete, doamna Hilbert şi-a chemat soţul într-o parte şi i-a spus:
– David, du-te, te rog, şi-ţi schimbă cravata.
Hilbert dispăruse. Se scurseră o oră, dar el tot nu-şi făcea apariţia. Stăpâna casei, îngrijorată, se porni în căutarea soţului. Privind şi în dormitor, descoperi, spre mirarea ei că Hilbert dormea în pat. Trezindu-se, el şi-a amintit că după ce şi-a scos cravata, continua, după inerţie, să se dezbrace mai departe şi, după ce s-a îmbrăcat în pijama, s-a culcat în pat.

Odată Isaac Newton a vrut să-şi fiarbă un ou de găină, fără a întrerupe lucrul. Îşi lua un cronometru pentru a fierbe oul numai în timp de trei minute. Era, însă, preocupat de problema sa matematică, pe care încerca s-o rezolve în acel moment. Când îşi aduse aminte, mare-i fu mirarea: a pus ceasul la fiert, iar în mână ţinea oul ca să numere minutele.

Marele fizician Josiah Gibbs, fiind un om foarte retras, nu scotea, de obicei, nici o vorbă la consiliile ştiinţifice ale universităţii unde el preda. La una din şedinţele în cadrul căreia se discuta întrebarea cărui obiect trebuie de rezervat mai mult spaţiu în noul program de studiu: matematicii sau limbilor străine. Gibbs n-a răbdat, totuşi, şi a luat cuvântul:
– Matematica tot este limbaj, – a spus el.

Lui Albert Einstein îi plăceau foarte mult filmele lui Charles Chaplin, nutrind o simpatie deosebită faţă de personajele create de acest cineast.
Într-o scrisoare adresată lui Charles Chaplin citim: "Filmul dumneavoastră "Goana după aur" e pe înţelesul tuturor. Veţi ajunge numaidecât om mare. Einstein".
Răspunsul a fost dat cu promptitudine: "M-aţi cucerit şi mai mult. "Teoria relativităţii", pe care aţi elaborat-o, nu o înţelege nimeni, dar dumneavoastră aţi devenit, totuşi, om mare. Chaplin".

Carl Gauss se distingea încă din şcoală prin agerimea minţii sale. Odată învăţătorul său îi zise:
– Carl, aşi vrea să-ţi dau două întrebări. Dacă la prima o să răspunzi corect, apoi la a doua poţi să nu mai răspunzi. Aşadar, câte ace are bradul şcolii noastre, împodobit de Anul Nou?
– 65786 de ace, domnule învăţător, – a răspuns imediat Gauss.
– Bine, dar cum ai aflat acest lucru? – îl întrebă învăţătorul.
– Această întrebare de acum este cea de a doua, – remarcă cu promptitudine elevul.

Printre numeroasele lecţii despre aplicaţiile matematicii, citite de către Cebâşev, se remarcă şi prelegerea lui la Paris, dedicată teoriei matematicii în confecţionarea îmbrăcămintei. La ea s-au prezentat cei mai buni croitori şi modelieri, diferiţi experţi în ale eleganţei. Cebâşev şi-a început lecţia cu renumita frază matematică:
– Admitem, pentru simplitate, că omul are corp de formă sferică.
După aceste cuvinte vorbele lui sunau în gol, deoarece publicul şocat a părăsit sala.

Marele matematician american John von Neumann, a lucrat cândva în calitate de consultant al specialiştilor din domeniul construirii navelor cosmice. Odată, văzând scheletul unei rachete, von Neumann a întreabat pe colaboratorul ce-l însoţea:
– Cine a construit racheta?
– Inginerii, – a fost răspunsul.
– Inginerii? – repetă von Neumann cu dispreţ, – păi eu am elaborat teoria matematică a rachetelor. Luaţi respectiv, lucrarea mea, publicată în anul 1952, şi veţi găsi în ea totul ce vă interesează.
Specialiştii au găsit lucrarea în cauză, au demontat construcţia rachetei proiectate de ei (către acel moment erau cheltuite deja 10 000 000 de dolari) şi au construit o rachetă nouă, urmărind cu stricteţe recomandările lui von Neumann. Însă aceasta n-a fost destul, pentru a garanta succesul final, căci în momentul apăsării butonului "Start" a răsunat o explozie asurzitoare şi racheta s-a făcut ţăndări. Indignaţi, constructorii de rachete l-au chemat pe von Neumann şi l-au întrebat:
– De ce, în pofida urmării cu stricteţe a recomandărilor dumneavoastră racheta a explodat, totuşi, în momentul lansării ei.
– Ceia despre ce aţi vorbit se referă la aşa numita teorie a exploziei puternice. Eu am elaborat într-o lucrare de a mea, publicaă în anul 1954. Veţi găsi în ea totul ce vă interesează, – a răspuns von Neumann.

Niels Bohr avea de asupra uşii sale de la vilă bătută o potcoavă care, chipurile, aduce conform unei credinţe populare, noroc.
– Poate oare un savant atât de remarcabil ca dumneavoastră să creadă, că potcoava suspendată de asupra uşii într-adevăr aduce noroc? – întreabă unul din vizitatorii săi.
– Nu, răspunse Bohr, – desigur că nu cred. Aceasta-i o veritabilă superstiţie. Dar ştiţi se spune, că ea aduce noroc chiar şi celor care nu cred în aceasta.

Despre Jean d'Alembert se zice, că atunci când de fiecare dată demonstrează studenţilor propria teoremă, spunea: "Şi acum, domnilor, vom trece la teorema al cărei nume am onoarea să-l port".

Mare i-a fost mirarea unui filozof, când a aflat de la Bertrand Russell, că dintr-o afirmaţie falsă poate fi dedusă oricare alta. El a întrebat:
– Dumnevoastră consideraţi, într-adevăr, că din afirmaţia 2 + 2 = 5, urmează, că sunteţi papa de la Roma?
Russell dădu afirmativ din cap.
– Şi dumneavoastră puteţi demonstra acest lucru? – continuă să-şi exprime îndoiala filozoful.
– Desigur! – a răspuns cu fermitate Russell şi-i expune demonstraţia în cauză:
1. Presupunem, că 2 + 2 = 5;
2. Scădem din ambele părţi a egalităţii câte un doi: obţinem 2 = 3;
3. Schimbăm cu locurile partea stângă cu partea dreaptă: 3 = 2;
4. Scădem din ambele părţi câte o unitate: 2 = 1;
Papa de la Roma şi eu – împreună suntem doi. Deoarece 2 = 1, atunci papa de la Roma şi eu suntem una şi aceeaşi persoană. Deci, eu sunt papa de la Roma.

Despre matematicianul francez Pierre de Maupertuis (de altfel, favoritul lui Napoleon Bonaparte), se spune, că, după o masă copioasă şi bine stropită cu băuturi, se aşează într-un fotoliu şi declară, căscând: "Acum aş vrea să rezolv o problemă frumoasă, dar să nu fie prea dificilă!"

Un profesor foarte pedant obişnuia să spună: "... polinomul de gradul patru
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, ( unde ax4 se citeste ax la puterea a patra, bx3 se citeste bx la puterea a treia, iar cx2 se citeste cx la puterea a doua)
unde e nu-i neapărat să fie baza logaritmilor naturali" (dar poate şi să fie).

Deducţia logică
Cică în coşul unui aerostat, luat de vânt şi ce pierdea din înălţime, se aflau Sherlock Holmes şi doctorul Watson. Călătorii lui, în momentul când pierduseră orice orientare, au zărit un om.
– Domnule, spuneţi-mi, vă rog, măcar aproximativ, unde ne aflăm? – întrebă Holmes.
– De ce aproximativ, domnule? Vă pot spune precis. Vă aflaţi în coşul aerostatului.
În acest moment o rafală de vânt zmunci aerostatul în sus.
– Să-l ia naiba de matematician, – bolmoji Holmes.
– Sunt uimit, ca de obicei, – spuse Watson, – cum de aţi aflat, că omul acesta este un matematician?
– Păi, faptul este evident, – zice Holmes, – răspunsul lui este pe cât de exact, pe atât şi de inutil.

Pseudomatematica
Fizicianul crede, că 60 se împarte fără rest la orice număr (mai mic decât 60, desigur). El observă că 60 se împarte la 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mai verifică câteva numere, luate, după cum afirmă el la întâmplare, spre exemplu la 10, 15, 20, 30. Deoarece 60 se împarte şi la ele, fizicianul consideră că aceste date experimentale sunt suficiente, pentru a demonstra, că 60 se împarte fără rest la orice număr.
Inginerul bănuieşte, că toate numerele impare sunt şi prime (adică numerele care se împart fără rest doar la 1 şi sine însuşi). În orice caz, demonstrează el, 1 este număr prim, mai apoi urmează 3, 5 şi 7, toate fiind, fără îndoială, numere prime. Dacă e să luăm pe 9, apoi ne lovim de un caz neplăcut: 9 nu e un număr prim, dar 11 şi 13 sunt desigur prime.
– Revenind la numărul 9, – spune inginerul, – se poate conchide, că s-a produs o eroare experimentală.

Noţiunea de evident
Un careva profesor de matematică, formulând în timpul lecţiei o teoremă, a spus:
– Demonstraţia ei este evidentă.
– Dar de ce este evidentă? – întrebă un student cu acest prilej.
Profesorul se gândi niţel şi apoi ieşi din sală. Întorcându-se peste vre-o 20 de minute el anunţă:
– Teorema într-adevăr este evidentă.
După aceasta el îşi continuă imperturbabil prelegerea sa.
Cât priveşte cuvântul "evident" el poate fi interpretat în diferite modalităţi. Iată doar câteva dintre ele.
1. Când profesorul A spune că o afirmaţie este evidentă, aceasta înseamnă, că-i cunoscută auditoriului încă 2 săptămâni în urmă.
2. Când profesorul B spune că o afirmaţie este evidentă, atunci aceasta înseamnă că, venind acasă, şi gândindu-vă asupra ei veţi înţelege, de ce ea este evidentă.
3. Când profesorul C spune că o afirmaţie este evidentă, aceasta înseamnă că, dedicându-vă întreaga viaţă, ce v-a mai rămas, meditaţiilor asupra sensului celor spuse, posibil, veţi înţelege cândva, că afirmaţia, este justă.

Marele compozitor german Ludwig van Beethoven aşa şi nu a mai reuşit nici odată să se familiarizeze cu toate operaţiile aritmetice. Înmulţirea şi împărţirea au fost pentru el o taină nedescoperită. De exemplu, pentru a înmulţi 12 la 60, genialul compozitor îl aduna pe 12 de 60 de ori la rând.
Este drept că, matematicienii nu s-au lăsat "îndatoraţi" faţă de arta muzicii. Astfel, pentru marele matematician austriac Georg Vega, muzica era într-atât de străină, încât el spunea:
– Nu există nici muzică bună, nici muzică rea. Există doar numai zgomot mult şi zgomot puţin.

Gottfried Leibniz era credincios in felul său. Pentru el posibilitatea de a scrie toate numerele cu ajutorul simbolurilor "0" şi "1", adică cu ajutorul sistemului binar, constituie demonstraţia matematică a creaţiei lumii din nimic, Dumnezeu fiind 1, iar nimicul – 0.

Suntem martorii pătrunderii vertiginoase a calculatoarelor electronice în cele mai diverse domenii. Iată, de exemplu, la rezolvarea problemelor de ordin "economic". Cică, un student, hotărând să aplice pe viu cunoştinţele acumulate, intenţionă să alcătuiască un meniu optim, pentru a economisi câte ceva din bursă. Zis şi făcut. După ce a introdus în calculator datele despre preţurile şi conţinutul caloric ale bucatelor, servite la cantina studenţească, a cerut, ca meniul să aibă norma calorică recomandată de medicină, iar preţul să fie minim. Răspunsul a urmat neîntârziat: "18 pahare de cafea cu lapte pe zi".

Este interesant, că în matematica superioară există o relaţie cunoscută, ce exprimă o legătură strânsă şi neaşteptată, totodată, între numerele
p, e, 1, 0 şi .

Este formula
eip + 1 = 0, (unde eip se citeste e la puterea ip)
pe care a dedus-o Leonhard Euler. Ea, fiind o formulă cu multe sensuri, merită atenţia nu numai a matematicienilor, ci şi a filozofilor şi reprezentanţilor ştiinţelor naturale.
Matematicianul american Benjamin Peirce, luând cunoştinţă pentru prima dată de această formulă, în pofida faptului că de la descoperirea ei trecuseră mai mult de o sută de ani, a rămas foarte impresionat.
– Domnilor, – a spus el odată, adresându-se studenţilor, în momentul când deduseseră relaţia pe tablă, – eu sunt convins, că formula scrisă este absolut paradoxală. Noi nu suntem în stare s-o înţelegem, noi, însă, am demonstrat-o şi de aceea considerăm, că ea este justă.

Un aspirant prea sacaitor l-a adus pe conducătorul său ştiinţific David Hilbert într-o stare, încât acesta să-i spună: "Duceţi-vă şi elaboraţi construirea unui poligon regulat cu 65 537 (= 2 la puterea 16 +1) de laturi". Aspirantul s-a retras, ca să revină după 20 de ani de activitate cu construcţia în cauză (actualmente ea se păstrează în arhivele din Göttingen).

Odată matematicianul francez Joseph Louis Lagrange se afla la un concert. Văzându-l foarte concentrat, cineva l-a întrebat, pentru ce îi place muzica?
– Îmi place, – răspunde acesta, – fiindcă mă izolează. Ascult primele trei măsuri; la a patra nu mai deosebesc nimic; mă las atunci furat de gândurile mele; nimic nu mă mai întrerupe atunci; în felul acesta am rezolvat nu o singură problemă dificilă.

Atunci când în anul 1884 studenţii Universităţii din Petersburg i-au dăruit academicianului P. L. Cebâşev culegerea de lucrări, proaspăt ieşită de sub tipar a cercului de matematică condus de el, Pafnutii Lvovici le-a spus:
– Scrieţi, scrieţi domnilor, dar nu uitaţi, că în timpurile noastre este mai uşor şă găseşti trei cărţi decât un cititor.

Academia franceză a respins în mai multe rânduri lucrările lui Galois, motivând, că ele sunt de neînţeles ... "din cauza dorinţei exagerate a autorului de a se exprima prea concis". Mai târziu această instituţie a apreciat, că lucrările lui Galios dispun ... de "o minunată claritate şi precizie".

Matematicianul german Felix Klein, ce se ocupa în de aproape de chestiunile ce ţin de instruirea matematică, a organizat înainte de Primul Război Mondial o comisie internaţională pentru reorganizarea predării. Luând cunoştinţă de gimnaziile nemţeşti, el a asistat şi la câteva lecţii. La una dintre ele, atunci când s-a pomenit de Kopernik, Klein a întrebat: "Când a trăit Kopernik?"
În continuare discuţia a decurs astfel:
Klein: Dacă nu ştiţi anii naşterii şi ai morţii, să-mi spuneţi, măcar, în ce secol a trăit el?
Tăcere mormântală.
Klein: Spuneţi, a trăit înainte de era noastră sau nu?
Clasa (cu fermă convingere): Desigur, înainte de era noastră.
Klein remarcă: "Şcoala trebuia să obţină, ca elevii să răspundă la această întrebare, cel puţin, fără a face uz de cuvântul "desigur"".

Matematicianul neamţ Moritz Pasch explica existenţa unui număr impunător de oameni care nu înţeleg matematica, prin faptul că ... gândirea matematică, prin însăşi esenţa ei, este opusă naturii omului.

George Berkeley afirma, că în calculul diferenţial se comit constant greşeli, care apoi sunt corectate şi substituite cu alte greşeli de ordin opus.

Despre lucrările matematicianului Jordan se spunea, că dacă el ar fi avut nevoie de patru mărimi analogice sau omogene (de exemplu a, b, c, d), el le-ar fi notat prin a, M3', e2, .

Matematicienii profesionişti sunt familiarizaţi cu numele celebrului matematician al sec. XX Nicolas Bourbaki. De fapt, aceasta nu este numele unei singure persoane, ci este pseudonimul unui grup de matematicieni, majoritatea stabiliţi în Franţa şi care-şi respectă cu stricteţe anonimatul. Atingând vârsta de 50 de ani, fiecare membru al acestui colectiv, indiferent de meritele sale, este exclus automat din rândul celor activi. În pofida atmosferei de taină, ce persistă în jurul biografiei lui N. Bourbaki, totuşi se cunoaşte faptul că fondatorul acestui grup este matematicianul francez Jean Dieudonne.
Cu prilejul primei sale vizite la Moskova, în anul 1966, J. Dieudonne mărturisea: "Îl stimez foarte mult pe domnul Bourbaki, dar spre regret, nu-l cunosc personal".
Însă cu ocazia editării în Uniunea Sovietică a "Elementelor matematicii" (semnată N. Bourbaki) Jean Dieudonne a prezentat o procură autentificată, în care N. Bourbaki încredinţa primirea onorarului pentru publicaţie "prietenului meu J. Dieudonne".
________________

Legi matematice

Regula regulilor
Există reguli pentru alegerea unei soluţii, dar nu există reguli pentru alegerea acestor reguli.

Legea problemelor
Dacă în problemă sunt implicate mai puţin de trei variabile, această nu este o problemă, iar dacă numărul lor este mai mare decât opt, atunci problema este irezolvabilă.

Criteriul criteriilor
Pentru orice calitate sau proprietate, cărora aţi dori să le daţi apreciere, se vor găsi întotdeauna cel puţin trei criterii contradictorii, ce se exclud reciproc.

Postulatul ipotezelor
Numărul ipotezelor rezonabile, capabile să explice orice fenomen concret, este infinit.

Principiul rezultatului final
Prin definiţie: când cercetaţi necunoscutul, atunci nu se ştie ce veţi descoperi.

Teorema despre adâncimea băltoacei
Nu poţi spune nimic despre adâncimea unei băltoace, până nu cazi în ea.

Legea I a disputei
Nu te angaja niciodată în dispută cu un prost, căci oamenii ar putea să nu observe deosebirea dintre voi.

Legea II a disputei
Cine strigă mai tare, aceluia i se dă cuvântul.

Definiţia plagiatului şi a cercetării
Dacă furăm de la unul, acesta se numeşte plagiat, dacă de la mai mulţi – cercetare.

Postulatul experienţei de lucru
Experienţa de lucru, acumulată de experimentator, este direct proporţională cu numărul de aparate pe care el le-a deteriorat.

Postulatele de bază ale experimentelor
1. Instrumentul scăpat din mână cade anume acolo unde poate cauza cât mai multă stricăciune.
2. După demontarea şi asamblarea unui anumit dispozitiv rămân în plus câteva piese.
3. Cantitatea pieselor de rezervă acumulate este invers proporţională necesităţii lor.
4. Dacă un bloc al maşinii poate fi montat incorect, atunci se va găsi totdeauna un om care o va face.
5. Toate tuburile de cuplare ermetică curg.
6. În urmă oricărui calcul numărul, corectitudinea căruia este evidentă, se transformă în sursă de noi greşeli.
7. Necesitatea modificărilor radicale creşte continuu, pe măsură ce proiectul se apropie de sfârşit.

Principiul pieselor importante
Dacă o piesă oarecare va cădea de pe masa de lucru, atunci probabilitatea găsirii ei este invers proporţională importanţei pe care ea o are pentru terminarea experimentului.

Legea compensaţiei
Experimentul poate fi considerat reuşit, dacă aruncând o jumătate din toate datele acumulate, veţi reuşi să înregistraţi o coincidenţă aproape deplină cu teoria.

Axioma instrucţiei
Atunci când toate modalităţile dumneavoastră de a efectua experimentul vor ieşua, citiţi instrucţia.

Legea întrebărilor
Întrebările mărunte se rezolvă rapid, iar cele mai importante nu se rezolvă nicicând.

Regula termenilor de realizare a proiectului (90 pe 90)
Primele 90% ale lucrării consumă 10% de timp, iar ultimele 10% – restul 90% din timpul prevăzut.

Legea "terţului exclus"
În domeniul cercetărilor şi elaborărilor din trei parametri pot fi definiţi, concomitent, numai doi:
1) dacă este indicat scopul şi modalitatea atingerii lui, atunci nu poţi ghici, cât te va costa;
2) dacă suntem limitaţi în timp şi resurse, este imposibil să prezici, ce parte din angajament va fi îndeplinită;
3) dacă scopul este bine definit şi se alocă o sumă concretă de bani, apoi nu poţi prezice, când va fi atins acest scop.
Dacă, totuşi, aţi reuşit să definiţi toţi cei trei parametri, aceasta înseamnă, că nu aveţi de a face cu cercetări şi elaborări.

Legea cheltuielilor
Cheltuielile tind să se egaleze cu veniturile.

Principiul relativităţii
Orice lucrător mai tânăr decât dumneavoastră este lipsit de experienţă, iar orice lucrător mai în vârstă cu 5 ani decât dumneavoastră este bătrân şi rămas în urmă de viaţă.

Legea imposibilului
Dacă un savant eminent, ce îmbătrâneşte deja, afirmă, că ceva este posibil, el aproape la sigur, că are dreptate. În schimb, dacă el consideră, că ceva este imposibil, aceasta înseamnă, mai mult ca probabil, că el greşeşte.

Legea erorilor
Specialistul calificat este acela care evită cu succes greşelile mici, mişcându-se necontenit spre o eroare globală.

Legea competenţei
Dacă eşti competent într-un domeniu, aceasta nu înseamnă, că nu vei face prostii în alte domenii.

Legea 8 / 10 / 12
Opt oameni se descurcă cu munca a zece oameni mai bine decât doisprezece.

Axioma minţii
Volumul total de minte pe globul pământesc este o mărime constantă, iar populaţia creşte.

Legea muncii de creaţie
Cu cât mai mult lucrezi asupra ideii tale, cu atât mai mult te convingi, că ea aparţine altuia.

Legea fermităţii
Omul care posedă un singur ceasornic, ştie cu fermitate ce oră este. Omul care are mai multe ceasornice nu este convins deloc de exactitatea orei.

Legea costului
Compromisul întotdeauna ne costă mai scump decât oricare alte alternative.

Observaţie
Prietenii vin şi pleacă, iar duşmanii se acumulează.

Despre numerele interesante
Titlul ne sugerează, desigur, că este vorba despre un sofism împrumutat din teoria elementară a numerelor. Numerele pot, fireşte, prezenta interes din diferite puncte de vedere. Astfel, un poet, care şi-a dedicat una din odele sale unei femei de treizeci de ani, manifesta, evident, un interes deosebit pentru numărul 30. Acest poet considera, că la vârsta în cauză femeile sunt extrem de atrăgătoare.
Pentru un specialist în teoria numerelor numărul 30 prezintă, credem, un interes şi mai mare, căci acesta este cel mai mare număr, care are următoarea proprietate: toate numerele mai mici decât el şi care nu au cu el divizori comuni sunt prime.
Nu este mai puţin interesant şi numărul 15873: dacă el este înmulţit pentru început cu orice cifră, adică cu orice număr de la 1 până la 9, iar mi apoi cu 7, rezultatul va fi întotdeauna un număr format prin repetarea cifrei alese pentru prima înmulţire.
Proprietăţi şi mai interesante posedă numărul 142 857: înmulţindu-l de fiecare dată la numerele de la 1 până la 6, veţi obţine permutări ciclice din unele şi aceleaşi şase cifre, din care e format.
Apare întrebarea: dar există oare numere neinteresante?
Cu ajutorul unor raţionamente elementare putem demonstra următoarea afirmaţie.
TEOREMĂ. Numere neinteresante nu există.
Demonstraţie.
Dacă ar exista numere plictisitoare, atunci toate numerele le-am putea diviza în două clase: numere interesante şi numere neinteresante. În mulţimea numerelor neinteresante se va găsi, neapărat, un număr care este cel mai mic printre numerele neinteresante.
Dar cel mai mic dintre numerele neinteresante deja este un număr interesant. Aşa că el trebuie extras şi transferat în mulţimea numerelor interesante.
Dar în mulţimea numerelor neinteresante rămase vom găsi din nou un cel mai mic număr.
Repetând acest proces destul de frecvent, putem face interesant orice număr neinteresant.
Ceea ce trebuia de demonstrat.
_____________________________________________________________________________________